Warum ich davon ausgehe, dass kein gültiges Tripel existiert

Auf dieser Seite erläutere ich kurz die Idee hinter der Seite, warum im Rahmen von The Descartes Challenge voraussichtlich kein Tripel eingereicht werden kann, das alle Bedingungen erfüllt. Die vollständige technische Argumentation ist in einem separaten Dokument ausgeführt.

Intuition hinter dem Beweis

Das Suchproblem in The Descartes Challenge ist bewusst so formuliert, dass es an eine sehr spezielle Klasse von Descartes–Konfigurationen und deren Darstellung in Eisenstein-Koordinaten gekoppelt ist. Nur wenn ein Tripel (k₁, k₂, k₃) eine ganze Reihe von algebraischen, arithmetischen und geometrischen Nebenbedingungen erfüllt, entsteht daraus ein Kandidat z, der im Sinne der Challenge „gültig“ ist. Um einem Betrugsvorwurf vorwegzunehmen - es gibt unendlich viele Tripel, die alle Bedingungen erfüllen. Bis auf eine: sind sie nicht zerlegbar - oder wie der Volksmund sagt: sie sind alle prim. Wenn man allerdings behauptet, man hat eine Funktion, die ausschließlich Primzahlen (oder in seltenen Fällen eine Potenz einer Primzahl) liefert, die dann auch noch um Größenordnungen größer ist, als die Eingangszahl - dann wird man nicht ernst genommen. Daher stammt die Herausforderung, mir zu beweisen, dass ich unrecht habe.

Der Kern der Argumentation lässt sich grob in drei Schritte gliedern:

1. Strukturelle Einschränkung der Tripel. Aus der Descartes-Gleichung und der Normdarstellung in Eisenstein-Zahlen folgt, dass nur sehr wenige Restklassen für die beteiligten Parameter überhaupt zulässig sind. Für die Tripel sind das {(2,2,3),(0,0,)} (mod 4) in Abhängigkeit von p1 (mod4). Aus der Verbindung zur Eisensteinnorm kann man zeigen, dass daraus Ausschlüsse für die Teiler 2,3,5 und 7 folgen - und auch für deren Restklassen (mod 12).
2. Die zulässigen Tripel werden zusätzlich durch GGT-Bedingungen im Eisenstein- Zahlkörper gefiltert. Die Beschränkung, dass nur Tripel zugelassen sind, die keine zwei Darstellungen im Descartes-Raum zulassen, eliminiert schließlich, wie sich zeigen läßt, alle restlichen zusammengesetzen Zahlen in z. Dadurch bleiben nur noch Konfigurationen übrig, die zwangsläufig Primzahlen sein müssen (oder deren Potenzen) - wobei bereits der GGT diese sehr zuverlässig eliminiert.

Zusammengenommen bedeutet das: Wenn Sie jetzt die ganze Zeit mit der Stirn runzeln, weil Sie Mathematiker sind und es einfach nicht in ihr Weltbild passt, dass eine strukturierte Untermenge der Prim- zahlen existiert: holen Sie sich die 500 € und beweisen Sie, dass Sie ein Tripel finden, dass keine Primzahl liefert! Die Challenge ist daher als Aufforderung zu verstehen, meine Annahmen zu widerlegen. Der einfachste Weg dazu, ist ein Tripel zu produzieren, welches alle Bedingungen erfüllt und keine Primzahl (oder ein p^k) liefert.

Download des vollständigen Beweisdokuments

Die vollständige Herleitung mit allen Definitionen, Sätzen und Beweisen steht als PDF zur Verfügung. Dieses Dokument richtet sich an Leserinnen und Leser mit mathematischem Hintergrund.

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